梯度

(数学名词)

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梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。
中文名
梯度
外文名
gradient
学    科
微积分学
适用范围
数理科学
相关概念
方向导数
性    质
向量

目录

梯度定义

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设二元函数
在平面区域D上具有一阶连续偏导数,则对于每一个点P(x,y)都可定出一个向量
,该函数就称为函数
在点P(x,y)的梯度,记作gradf(x,y)或
,即有:
gradf(x,y)=
=
其中
称为(二维的)向量微分算子或Nabla算子,
是方向l上的单位向量,则
由于当方向l与梯度方向一致时,有
所以当l与梯度方向一致时,方向导数
有最大值,且最大值为梯度的模,即
因此说,函数在一点沿梯度方向的变化率最大,最大值为该梯度的 [1] 

梯度推广

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梯度的概念可以推广到三元函数的情形。
设三元函数
在空间区域G内具有一阶连续偏导数,点
,称向量
为函数
在点P的梯度,记为
,即
=
=
其中
称为(三维的)向量微分算子或Nabla算子,
同样,该梯度方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值。 [2] 

梯度应用

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设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w,在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw,则称为该物理参数的梯度,也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度、温度或空间,则分别称为度梯度、浓度梯度温度梯度空间梯度。其中温度梯度在直角坐标系下的表达式如右图。 [2] 
温度梯度的表达式
向量微积分中,标量场梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说,从欧几里得空间RnR的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上,梯度是雅可比矩阵的特殊情况。
在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率
梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。
参考资料
  • 1.    宋国华,崔景安.高等数学第二版下:石油工业出版社,2013
  • 2.    同济大学应用数学系.高等数学下:高等教育出版社,2007
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